nonnoriccardo

Il Paradosso Della Capra - Il Problema Di Monty Hall

6 messaggi in questa discussione

Voglio sottoporre alla vostra attenzione un paradosso matematico sentito per radio, ma abbastanza noto:

  • Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;
  • Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
  • Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
  • Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
  • Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra;
    • Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
    • Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti;

    [*]Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.

Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?

La soluzione è in un ragionamento matematico molto semplice ma non intuitivo.

Ad una prossima risposta la soluzione !!

PS - Renderò invisibili le eventuali risposte per rivelare alla fine chi ha dato quella giusta !!

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se le probabilità vengono calcolate dall'inizio del gioco, la risposta è si

se invece le calcoliamo dall'apertura della prima porta la risposta è : non cambia niente

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Inviato (modificato)

La risposta è ; le probabilità di trovare l'automobile raddoppiano.

La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

  • Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
  • Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
  • Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

Una strategia di soluzione alternativa è considerare che se si suppone di cambiare, il solo caso in cui si perde è quello in cui originariamente si è scelta l'automobile e quindi la domanda del conduttore può essere considerata un invito a invertire le probabilità di successo con quelle di insuccesso.

Il problema sarebbe diverso se non ci fosse una scelta iniziale, o se il conduttore scegliesse una porta a caso, o se il conduttore potesse offrire al giocatore di cambiare a seconda della scelta iniziale del giocatore. Alcune formulazioni del problema, e significativamente quella del settimanale Parade, non escludono esplicitamente queste possibilità; diversi testi di probabilità elementare riportano varianti del problema. Per esempio, se il conduttore offre la possibilità di cambiare solo se il giocatore inizialmente ha scelto l'automobile, le chance di vittoria associate alla strategia "cambiare" sono, ovviamente, dello 0%. Nella formulazione proposta nella sezione precedente, il giocatore che cambia ha una probabilità di vittoria pari a 2/3 precisamente perché il conduttore deve offrirgli la possibilità di cambiare, e deve rivelare una capra.

Un'analisi del problema attraverso il teorema di Bayes rende esplicito l'effetto delle ipotesi su indicate. Si consideri, senza ledere la generalità dell'analisi, il caso in cui la porta 3 è stata scelta, e non è stata ancora aperta alcuna porta.

La probabilità (a priori, utilizzando il gergo della statistica bayesiana) che l'automobile si trovi dietro la porta 2, che si denota con \ P(A2), è chiaramente 1/3, in quanto l'auto ha a priori la stessa probabilità di trovarsi dietro ciascuna porta. La probabilità che il conduttore dello show apra la porta 1, \ P(C1), è inoltre 1/2, dal momento che l'auto ha la stessa probabilità di trovarsi dietro la porta 1 (il che costringerebbe il conduttore ad aprire la porta 2) come dietro la porta 2 (il che costringerebbe il conduttore ad aprire la porta 1); se poi l'auto non si trova dietro nessuna delle due porte (1 o 2), è lecito ipotizzare che il conduttore ne apra una a caso, con uguale probabilità. Si osservi tuttavia che se l'auto si trova dietro la porta 2, in base a queste ipotesi il conduttore aprirà sicuramente la porta 1; in termini formali, \ P(C1|A2)=1. Ma allora, sfruttando il teorema di Bayes, si ottiene:

P(A2|C1)={P(C1|A2) x P(A2)} / {P(C1)}={1 x 1/3} / {1/2}={2/3}

Modificato da eagleman

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Eagle hai copiato da wikipedia o lo conoscevi? :)

Mi son andato a guardare la soluzione per curiosita'. Ecco il tipo di ragionamento che ho fatto prima di guardare :P

Inizialmente hai il 33% di probabilita' di scegliere la macchina ed il 66% di scegliere una capra. Hai il doppio delle probabilita' di scegliere la capra e sai che il condutture aprira' la porta con la capra, quindi cambiando scelta la probabilita' di trovare la macchina aumenta proprio perche' con la prima scelta e' piu' probabile che si sia trovata la capra.

In ogni caso il calcolo combinatorio... provatelo applicato al poker texano per capire quanto sia aleatorio :P

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Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?

Ovvio, all'inizio si compie la scelta avendo il 33% (1/3) di probabilità di scegliere la porta con dietro l'automobile, cambiando la scelta, invece, la probabilità è del 50% (1/2). :)

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Va beh, visto che non risponde più nessuno confermo che la soluzione è quella che ha posto eagleman.

Ma non è farina del suo sacco, così come avevo raccomandato nel titolo.

Ha fatto un copia-incolla da Wikipedia.

Ah, questi internauti impazienti ........

Comunque grazie a tutti quelli che hanno partecipato a questo gioco, più noto peraltro di quello che credevo!

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